如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AP=AB=2
3
,AC=4,D為PC中點,E為PB上一點,且BC∥平面ADE.
(Ⅰ)證明:E為PB的中點;
(Ⅱ)若PB⊥AD,求直線AC與平面ADE所成角的正弦值.
考點:直線與平面所成的角
專題:空間角
分析:(Ⅰ)由已知條件推導出BC∥DE,再由D為PC中點,求出E為PB的中點.
(Ⅱ)由已知條件推導出平面PBC⊥平面ADE,從而得到BC⊥PB.過C作CH⊥ED于H,推導出∠CAH是直線AC與平面ADE所成的角.由此能求出直線AC與平面ADE所成角的正弦值.
解答: (Ⅰ)證明:∵BC∥平面ADE,BC?平面PBC,
平面PBC∩平面ADE=DE,
∴BC∥DE.
∵D為PC中點,
∴E為PB的中點.
(Ⅱ)解:∵AP=AB,E為PB的中點,∴AE⊥PB,
又PB⊥AD,∴PB⊥平面ADE,
得DE⊥PB,且平面PBC⊥平面ADE.
由BC∥DE,得BC⊥PB.
過C作CH⊥ED于H,由平面PBC⊥平面ADE,∴CH⊥平面ADE.
∴∠CAH是直線AC與平面ADE所成的角.
∵BC∥DE,BC⊥PB,∴CH=BE=
1
2
PB=
6

sin∠CAH=
CH
AC
=
6
4
點評:本題考查線段中點的證明,考查直線與平面所成角的正弦值的求法,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖程序執(zhí)行后輸出的結果是S=( 。
A、3B、6C、10D、15

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

運行如圖所示的程序框圖,當輸入實數(shù)x的值為-1時,輸出的函數(shù)值為2;當輸入實數(shù)x的值為3時,輸出的函數(shù)值為7.
(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值;并寫出函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)求滿足不等式f(x)>1的x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知圓C經(jīng)過A(5,2),B(3-
2
,2-
2
),且圓心C在直線x=3上.
(1)求圓C的方程;
(2)求過D(0,1)點且與圓C相切的兩條切線方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

學校餐廳每天供應500名學生用餐,每星期一有A,B兩種菜可供選擇.調查表明,凡是在這星期一選A菜的,下星期一會有
1
5
改選B菜;而選B菜的,下星期一會有
3
10
改選A菜.用an,bn分別表示第n個星期選A的人數(shù)和選B的人數(shù).
(1)試用an+1(n∈N*,n≥2)表示an,判斷數(shù)列{an-300}是否成等比數(shù)列并說明理由;
(2)若第一個星期一選A種菜的有200人,那么第10個星期一選A種菜的大約有多少人?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

由于國家重點扶持節(jié)能環(huán)保產(chǎn)業(yè),某種節(jié)能產(chǎn)品的市場銷售回暖.某經(jīng)銷商銷售這種產(chǎn)品,年初與生產(chǎn)廠家簽訂進貨合同,約定一年內進價為0.1萬元/臺.一年后,實際月銷售量P(臺)與月次x之間存在如圖所示函數(shù)關系(4月到12月近似符合二次函數(shù)關系).
(1)寫出P關于x的函數(shù)關系式;
(2)如果每臺售價0.15萬元,試求一年中利潤最低的月份,并表示出最低利潤.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知|
OA
|=1,|
OB
|=2,∠AOB=
3
OC
=
1
2
OA
+
1
4
OB
,則
OA
OC
的夾角大小為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在如圖所示的程序框圖中,輸入f0(x)=cosx,則輸出的是( 。
A、sinxB、-sinx
C、cosxD、-cosx

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對于數(shù)列{an},把a1作為新數(shù)列{bn}的第一項,把ai或-ai(i=2,3,4,…,n)作為新數(shù)列{bn}的第i項,數(shù)列{bn}稱為數(shù)列{an}的一個生成數(shù)列.例如,數(shù)列1,2,3,4,5的一個生成數(shù)列是1,-2,-3,4,5.已知數(shù)列{bn}為數(shù)列{
1
2n
}(n∈N*)的生成數(shù)列,Sn為數(shù)列{bn}的前n項和.
(Ⅰ)寫出S3的所有可能值;
(Ⅱ)若生成數(shù)列{bn}滿足S3n=
1
7
(1-
1
8n
),求數(shù)列{bn}的通項公式;
(Ⅲ)證明:對于給定的n∈N*,Sn的所有可能值組成的集合為{x|x=
2k-1
2n
,k∈N*,k≤2n-1}.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案