已知遞增等差數(shù)列{an}滿足:a1=1,且a1,a2,a4成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)若不等式(1-
1
2a1
)•(1-
1
2a2
)…(1-
1
2an
)≤
m
2an+1
對任意n∈N+,試猜想出實數(shù)m小值,并證明.
分析:(1)設數(shù)列{an}公差為d(d>0),由a1,a2,a4成等比數(shù)列可求得d,從而可求得數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)由(1)得an=n,可將原不等式轉化為
1
2
3
4
5
6
2n-1
2n
m
2n+1
,利用n=1與n=2即可猜想m的最小值為
3
2
,利用數(shù)學歸納法證明即可.
解答:解:(1)設數(shù)列{an}公差為d(d>0),
由題意可知a1•a4=a22,即1(1+3d)=(1+d)2,
解得d=1或d=0(舍去).
所以,an=1+(n-1)•1=n.
(2)不等式等價于
1
2
3
4
5
6
2n-1
2n
m
2n+1
,
當n=1時,m≥
3
2
;當n=2時,m≥
3
5
8
;
3
2
3
5
8
,所以猜想,m的最小值為
3
2

下證不等式
1
2
3
4
5
6
2n-1
2n
3
2
2n+1
對任意n∈N*恒成立.
下面用數(shù)學歸納法證明.
證明:1°當n=1時,
1
2
3
2
3
=
1
2
,成立.
2°假設當n=k時,不等式,
1
2
3
4
5
6
2k-1
2k
3
2
2k+1
成立,
當n=k+1時,
1
2
3
4
5
6
2k-1
2k
2k+1
2k+2
3
2
2k+1
2k+1
2k+2

只要證
3
2
2k+1
2k+1
2k+2
3
2
2k+3
,
只要證
2k+1
2k+2
1
2k+3
,
只要證
2k+1
-
2k+3
≤2k+2,
只要證4k2+8k+3≤4k2+8k+4,
只要證3≤4,顯然成立.
所以,對任意n∈N*,不等式
1
2
3
4
5
6
2n-1
2n
3
2
2n+1
恒成立.
點評:本題考查數(shù)學歸納法,考查等差數(shù)列的通項公式,考查猜想與推理證明的能力,猜想出m的值是關鍵,也是難點,屬于難題.
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