Question

【題目】若存在不為零的常數(shù)，使得函數(shù)對定義域內(nèi)的任一均有，則稱函數(shù)為周期函數(shù)，其中常數(shù)就是函數(shù)的一個周期．

（Ⅰ）證明：若存在不為零的常數(shù)使得函數(shù)對定義域內(nèi)的任一均有，則此函數(shù)是周期函數(shù)；

（Ⅱ）若定義在上的奇函數(shù)滿足，試探究此函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點的最少個數(shù)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）4035個.

【解析】

試題（Ⅰ）由于存在不為零的常數(shù)a使得函數(shù)y=f（x）對定義域內(nèi)的任一x均有，可得f（x+2a）=-f（x+a）=f（x），即可得出此函數(shù)是周期．
（Ⅱ）由于定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），于是函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)．由于f（0）=0，可得，即可得出此函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點的最少個數(shù)．

試題解析：

（Ⅰ）證明：因為存在不為零的常數(shù)使得函數(shù)對定義域內(nèi)的任一均有，所以有：

即有：,

因此，函數(shù)是周期函數(shù)，且就是函數(shù)的一個周期.

（Ⅱ）解：因為定義在上的函數(shù)滿足，

由⑴可知：函數(shù)是周期函數(shù)，且就是函數(shù)的一個周期,

即有

又因為函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以。

且，所以 ……①

又，所以，

同理有： ……②

由①②有： 。又，

所以此函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點最少有個.