Question

設(shè)f（x）=4x²-4ax+3a+4（a∈R），若方程f（x）=0有兩個(gè)均小于2的不同的實(shí)數(shù)根，則此時(shí)關(guān)于x的不等式（a+1）x²-ax+a-1＜0是否對一切實(shí)數(shù)x都成立？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知條件求得a＜-1，假設(shè)（a+1）x²-ax+a-1＜0對任意實(shí)數(shù)x都成立，求得a＜-

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，由此可得當(dāng)a＜-

2 3

3

時(shí)，（a+1）x²-ax+a-1＜0對任意x都成立．

解答： 解：由方程4x²-4ax+3a+4=0有兩個(gè)均小于2的不同的實(shí)數(shù)根，可得

△=16a2-16(3a+4)＞0 a 2 ＜2 f(2)=16-8a+3a+4＞0

        解得a＜-1．
若假設(shè)（a+1）x²-ax+a-1＜0對任意實(shí)數(shù)x都成立，則有：
若a+1=0，即a=-1則不等式化為x-2＜0，顯然不滿足條件．
若a+1≠0，則有

a+1＜0 △=a2-4(a+1)(a-1)＜0

，解得a＜-

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3

，
綜上：當(dāng)a＜-

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3

時(shí)，（a+1）x²-ax+a-1＜0對任意x都成立，又因?yàn)?span id="djp5fvb" class="MathJye">-

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＜-1，所以這時(shí)（a+1）x²-ax+a-1＜0不對任意實(shí)數(shù)x都成立．

點(diǎn)評：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．