Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=（n-1）²（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足a_n=2log₃b_n-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用“當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1”即可得出a_n．再利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化即可得出b_n．
（II）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=（n-1）²（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=0．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（n-1）²-（n-2）²=2n-3．
∴a_n=

0，n=1 2n-3，n≥2

．
又∵a_n=2log₃b_n-1，
∴b_n=3

an+1

2

=

3 ，n=1 3n-1，n≥2

．
（Ⅱ）（1）當(dāng)n=1時(shí)，T_n=0．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)
T_n=1×3¹+3×3²+5×3³+…+（2n-3）×3^n-1
∴3T_n=1×3²+3×3³+…+（2n-5）×3^n-1+（2n-3）×3ⁿ，
∴-2T_n=1×3¹+2×3²+2×3³+…+2×3^n-1-（2n-3）×3ⁿ
=1×3¹+

2×32(3n-2-1)

3-1

-（2n-3）×3ⁿ
=-2[（n-2）3ⁿ+3]
∴T_n=（n-2）3ⁿ+3
綜合（1）（2）得T_n=（n-2）3ⁿ+3．

點(diǎn)評：本題考查了利用“當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1”求通項(xiàng)公式、指數(shù)式與對數(shù)式的互化、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．