Question

已知函數(shù)f（x）=sin2x-cos2x+1，且x∈[0，2π]．
（1）求f（x）的值域；         
（2）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用輔助角（和差角）公式，將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，結(jié)合x∈[0，2π]分析相位角的范圍，進(jìn)而由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到f（x）的值域；         
（2）若f（x）＞0，則sin(2x-

π

4

)＞-

2

2

，進(jìn)而得到x∈(kπ，kπ+

3π

4

)，k∈Z，又由x∈[0，2π]，可得不等式的解集．

解答： 解：（1）f（x）=sin2x-cos2x+1=

2

sin(2x-

π

4

)+1，
∵x∈[0，2π]，
∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

15π

4

]，
當(dāng)2x-

π

4

=

π

2

或

5π

2

時(shí)，f（x）取最大值1+

2

；
當(dāng)2x-

π

4

=

3π

2

或

7π

2

時(shí)，f（x）取最小值1-

2

；
故f（x）的值域?yàn)閇1-

2

，1+

2

]
（2）由f（x）＞0得：

2

sin(2x-

π

4

)＞-1，
即sin(2x-

π

4

)＞-

2

2

∴2x-

π

4

∈(2kπ-

π

4

，2kπ+

5π

4

)，k∈Z，
∴2x∈(2kπ，2kπ+

3π

2

)，k∈Z，
∴x∈(kπ，kπ+

3π

4

)，k∈Z
又∵x∈[0，2π]，
∴x∈（0，

3π

4

）∪（π，

7π

4

）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的值域，熟練掌握正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．