Question

17．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知tanB+tanC+$\sqrt{3}$tanBtanC=$\sqrt{3}$．
（1）求角A的大�。�
（2）若a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）把已知的兩等式變形后，根據兩角和的正切函數公式及誘導公式化簡，分別根據A和C的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數．
（2）由正弦定理可求sinB，利用大邊對大角及特殊角的三角函數值可求B，進而利用兩角差的正弦函數公式可求sinC的值，利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）∵tanB+tanC+$\sqrt{3}$tanBtanC=$\sqrt{3}$，且A+B+C=180°，
∴$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=$\sqrt{3}$，即tan（B+C）=-tanA=$\sqrt{3}$，
∴tanA=-$\sqrt{3}$，
∵0°＜A＜180°，
∴∠A=120°．
（2）∵a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，∠A=120°．
∴由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，結合b＜a，可得B=45°，
∴sinC=sin（60°-45°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{2}×$$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$．

點評 此題主要考查了兩角和與差的正切函數公式、誘導公式、特殊角的三角函數值，以及大邊對大角，正弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應用，其中靈活運用公式把已知的兩等式進行三角函數的恒等變形，得到A的度數，進而得到C的度數是解本題的關鍵，屬于中檔題．