Question

定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足f（3）=log₂3且對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　　）

• A、（-1，-1+2

  2

  ）
• B、（-∞，-1+2

  2

  ）
• C、（-∞，-1）
• D、[-1+2

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：根據(jù)抽象函數(shù)滿足的函數(shù)值的性質(zhì)確定出f（0）=0是解決本題的關(guān)鍵，結(jié)合f（0），f（3）的大小關(guān)系確定出該函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)值的關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量關(guān)系進(jìn)而求解出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：令x=y=0，得出f（0）=2f（0）?f（0）=0．
又根據(jù)f（3）=log₂3＞0=f（0），f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)進(jìn)一步確定出f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)．
因此f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）=f（k•3^x+3^x-9^x-2）＜0=f（0）?k•3^x+3^x-9^x-2＜0?k＜3^x+

2

3x

-1，
根據(jù)基本不等式得到3^x+

2

3x

-1≥2

3x× 2 3x

-1=2

2

-1，當(dāng)且僅當(dāng)3^x=

2

，即x=

1

2

log32時(shí)取等號，
因此k＜3^x+

2

3x

-1對任意x∈R恒成立?k＜3^x+

2

3x

-1的最小值，即k＜-1+2

2

．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)的賦值思想求函數(shù)值，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，即借助函數(shù)單調(diào)性根據(jù)函數(shù)值大小確定出自變量大小，進(jìn)而得出關(guān)于字母的不等式，利用分離變量的思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，通過基本不等式求解出函數(shù)的最值，求出字母的取值范圍．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的思想．