【題目】設(shè)函數(shù), = .
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
(1)求滿足條件的最小正整數(shù)的值;
(2)求證: .
【答案】(Ⅰ)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;
(Ⅱ)(1)3;(2)見解析.
【解析】試題分析:
(Ⅰ)求單調(diào)區(qū)間,只要求得導(dǎo)數(shù),通過討論的范圍(和)可解不等式和不等式,從而得單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)(1)求得,由有兩個(gè)零點(diǎn)得, 的最小值為,且, 由此可得,由函數(shù)是增函數(shù),通過估值可得最小正整數(shù)的值;(2)證明,設(shè),由,可把用表示,不等式中的可替換,然后變形為的不等式,設(shè),則,只要證相應(yīng)地關(guān)于的不等式在上成立,這又可用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)的函數(shù)得出.
試題解析:
(Ⅰ).
當(dāng)時(shí), 在上恒成立,所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為,
此時(shí) 無單調(diào)減區(qū)間.
當(dāng)時(shí),由,得, ,得,
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.
(Ⅱ)(1).
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn),所以,此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞增, 在單調(diào)遞減.
所以的最小值,即.
因?yàn)?/span>,所以.
令,顯然在上為增函數(shù),且
,所以存在.
當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,所以滿足條件的最小正整數(shù).
又當(dāng)時(shí), ,所以時(shí), 有兩個(gè)零點(diǎn).
綜上所述,滿足條件的最小正整數(shù)的值為3.
(2)證明 :不妨設(shè),于是
即,
.
所以.
因?yàn)?/span>,當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,
故只要證>即可,即證明,
即證,
也就是證.
設(shè).
令,則.
因?yàn)?/span>,所以,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), ,
所以在上是增函數(shù).
又,所以當(dāng)總成立,所以原題得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,求a,b的值;
(2)當(dāng)a=3,b=-9時(shí),若函數(shù)f(x)+g(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求在處的切線方程;
(Ⅱ)若且函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若時(shí), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在正方形中,點(diǎn)分別是的中點(diǎn),與交于點(diǎn),點(diǎn)分別在線段上,且.將分別沿折起,使點(diǎn)重合于點(diǎn),如圖2所示.
(1)求證:平面;
(2)若正方形的邊長為4,求三棱錐的內(nèi)切球的半徑.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中石化集團(tuán)獲得了某地深海油田塊的開采權(quán),集團(tuán)在該地區(qū)隨機(jī)初步勘探了部分幾口井,取得了地質(zhì)資料,進(jìn)入全面勘探時(shí)期后,集團(tuán)按網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)米布置井位進(jìn)行全面勘探,由于勘探一口井的費(fèi)用很高,如果新設(shè)計(jì)的井位與原有井位重合或接近,便利用舊井的地質(zhì)資料,不必打這口斷井,以節(jié)約勘探費(fèi)用,勘探初期數(shù)據(jù)資料見下表:
井號(hào) | ||||||
坐標(biāo) | ||||||
鉆探深度 | ||||||
出油量 |
(1)~號(hào)舊井位置線性分布,借助前5組數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為,求,并估計(jì)的預(yù)報(bào)值;
(2)現(xiàn)準(zhǔn)備勘探新井,若通過號(hào)并計(jì)算出的的值(精確到)與(1)中的值差不超過,則使用位置最接近的已有舊井,否則在新位置打開,請判斷可否使用舊井?
(參考公式和計(jì)算結(jié)果:)
(3)設(shè)出油量與勘探深度的比值不低于20的勘探井稱為優(yōu)質(zhì)井,那么在原有口井中任意勘探口井,求勘探優(yōu)質(zhì)井?dāng)?shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】上世紀(jì)八十年代初, 鄧小平同志曾指出“在人才的問題上,要特別強(qiáng)調(diào)一下,必須打破常規(guī)去發(fā)現(xiàn)、選拔和培養(yǎng)杰出的人才”. 據(jù)此,經(jīng)省教育廳批準(zhǔn),某中學(xué)領(lǐng)導(dǎo)審時(shí)度勢,果斷作出于1985年開始施行超常實(shí)驗(yàn)班教學(xué)試驗(yàn)的決定.一時(shí)間,學(xué)生興奮,教師欣喜,家長歡呼,社會(huì)熱議.該中學(xué)實(shí)驗(yàn)班一路走來,可謂風(fēng)光無限,碩果累累,尤其值得一提的是,1990年,全國共招收150名少年大學(xué)生,該中學(xué)就有19名實(shí)驗(yàn)班學(xué)生被錄取,占全國的十分之一,轟動(dòng)海內(nèi)外.設(shè)該中學(xué)超常實(shí)驗(yàn)班學(xué)生第x年被錄取少年大學(xué)生的人數(shù)為y.
左下表為該中學(xué)連續(xù)5年實(shí)驗(yàn)班學(xué)生被錄取少年大學(xué)生人數(shù),求y關(guān)于x的線性回歸方程,并估計(jì)第6年該中學(xué)超常實(shí)驗(yàn)班學(xué)生被錄取少年大學(xué)生人數(shù);
年份序號(hào)x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
錄取人數(shù)y | 10 | 11 | 14 | 16 | 19 |
附1:
下表是從該校已經(jīng)畢業(yè)的100名高中生錄取少年大學(xué)生人數(shù)與是否接受超常實(shí)驗(yàn)班教育得到
2×2列聯(lián)表,完成上表,并回答:是否有95%以上的把握認(rèn)為“錄取少年大學(xué)生人數(shù)與是否接受超常實(shí)驗(yàn)班教育有關(guān)系”.
附2:
接受超常實(shí)驗(yàn)班教育 | 未接受超常實(shí)驗(yàn)班教育 | 合計(jì) | |
錄取少年大學(xué)生 | 60 | 80 | |
未錄取少年大學(xué)生 | 10 | ||
合計(jì) | 30 | 100 |
0.50 | 0.40 | 0.10 | 005 | |
0.455 | 0.708 | 2.706 | 3.841 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若方程所表示的曲線為C,給出下列四個(gè)命題:
①若C為橢圓,則1<t<4且t≠;
②若C為雙曲線,則t>4或t<1;
③曲線C不可能是圓;
④若C表示橢圓,且長軸在x軸上,則1<t<.
其中正確的命題是________(把所有正確命題的序號(hào)都填在橫線上).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩個(gè)無窮數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為,,,,對任意的,都有.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若為等差數(shù)列,對任意的,都有.證明:;
(3)若為等比數(shù)列,,,求滿足的值.
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