【題目】已知橢圓,過的焦點且垂直于軸的直線被截得的弦長為,橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)經(jīng)過右焦點的直線與交于,兩點,線段的垂直平分線與軸相交于點,求直線的方程.
【答案】(1);(2)或.
【解析】
(1)根據(jù)通徑可求過的焦點且垂直于軸的直線被截得的弦長為,再由橢圓的離心率為及橢圓解得a、b,可得橢圓方程;
(2)依題意,得直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,與橢圓聯(lián)立利用韋達定理可得線段的中點為,可得線段的垂直平分線的方程為,代入解得或,由此得出直線的方程.
(1)過的焦點且垂直于軸的直線被截得的弦長為,
,解得,.
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)依題意,得直線的斜率存在且不為0,,
設(shè)直線的方程為,,,
由,得.
可得,
,,
線段的中點為.
線段的垂直平分線的方程為
.
令,得.
,解得或.
直線的方程為或.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在數(shù)列中,若且則稱為“數(shù)列”.設(shè)為“數(shù)列”,記的前項和為
(1)若,求的值;
(2)若,求的值;
(3)證明:中總有一項為或.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在處的切線的斜率為2,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有零點,求實數(shù)的取值范圍.(是自然對數(shù)的底數(shù),)
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【題目】從編號為1,2,3,4,…,10的10個大小、形狀相同的小球中,任取5個球.如果某兩個球的編號相鄰,則稱這兩個球為一組“好球”.
(1)求任取的5個球中至少有一組“好球”的概率;
(2)在任取的5個球中,記“好球”的組數(shù)為X,求隨機變量X的概率分布列和均值E(X).
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【題目】已知函數(shù)的定義域為,若在上為增函數(shù),則稱為“一階比增函數(shù)”;若在上為增函數(shù),則稱為“二階比增函數(shù)”.我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為,所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為.
(Ⅰ)已知函數(shù),若且,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)已知,且的部分函數(shù)值由下表給出,
求證:;
(Ⅲ)定義集合
請問:是否存在常數(shù),使得,,有成立?若存在,求出的最小值;若不存在,說明理由.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),若以O為極點,x軸的正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程;
(2)將所得曲線C向右平移1個單位長度,再將曲線C上的所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍,得到曲線,求曲線上的點到直線l的距離的最大值.
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【題目】樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山,堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心,已形成了全民自覺參與,造福百姓的良性循環(huán).據(jù)此,某網(wǎng)站推出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進展情況的調(diào)查,大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明,參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占80%.現(xiàn)從參與調(diào)查的人群中隨機選出人,并將這人按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示:
(1)求的值;
(2)求出樣本的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表);
(3)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取人,再從這人中隨機抽取人進行問卷調(diào)查,求第2組中抽到人的概率.
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