Question

觀察下列式子：
1+

1

22

＜

3

2

，1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

，1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

，…
據(jù)以上式子可以猜想：1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

20152

＜

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：推理和證明

分析：由已知中的不等式：我們可以推斷出：右邊分式的分母與左右最后一項(xiàng)分母的底數(shù)相等，分子是分母的2倍減1，即1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＜

2n-1

n

，將n=2015，代入可得答案．

解答： 解：由已知中的不等式：
1+

1

22

＜

3

2

=

2×2-1

2

，
1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

=

2×3-1

3

，
1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

=

2×4-1

4

…
我們可以推斷出：右邊分式的分母與左右最后一項(xiàng)分母的底數(shù)相等，分子是分母的2倍減1，
即1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＜

2n-1

n

，
∴1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

20152

＜

4029

2015

．
故答案為：

4029

2015

．

點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．