【題目】已知數(shù)列滿足 .

(1)證明：當(dāng)時(shí)，；

(2)證明： ()；

(3)證明：為自然常數(shù).

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明，先證成立，再假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即，再證當(dāng)，成立，這一步需要用到這一假設(shè)

（2）先觀察證明的恒等式，發(fā)覺右側(cè)出現(xiàn)了裂項(xiàng)的基本形式，故可考慮將式子作如下變形處理，通過移項(xiàng)可得，再采用疊加法即可求得

由遞推公式和（1）的結(jié)論有

變形得，兩邊同取對(duì)數(shù)得，再利用導(dǎo)數(shù)公式，可得

即，再采用累加法通過變形最后即可得到

（1）（用數(shù)學(xué)歸納法證明）

①當(dāng)時(shí)，，

所以結(jié)論成立；

②假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即．

則當(dāng)時(shí)

所以時(shí)，結(jié)論成立．

由①②可知，當(dāng)時(shí)，成立

（2）由題意得

所以

所以，

，

，

……

，

以上各式兩邊分別相加可得，

又，所以

．

（3）由題意得，

∴，

∴，（利用了導(dǎo)數(shù)公式的性質(zhì)）

∴，

由累加法得

，

所以，

所以，

故，

所以為自然常數(shù).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市調(diào)硏機(jī)構(gòu)對(duì)該市工薪階層對(duì)“樓市限購(gòu)令”態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，抽調(diào)了50名市民，他們?cè)率杖腩l數(shù)分布表和對(duì)“樓市限購(gòu)令”贊成人數(shù)如下表：

月收入（單位：百元）

頻數(shù)

5

10

5

5

頻率

0.1

0.2

0.1

0.1

贊成人數(shù)

4

8

12

5

2

1

（1）若所抽調(diào)的50名市民中，收入在的有15名，求，，的值，并完成頻率分布直方圖．

（2）若從收入（單位：百元）在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查，選中的2人中恰有人贊成“樓市限購(gòu)令”，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．

（3）從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機(jī)抽取3名市民，恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購(gòu)令”，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，判斷這3名市民來(lái)自哪組的可能性最大？請(qǐng)直接寫出你的判斷結(jié)果．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知是異面直線，是空間一定點(diǎn)，下列命題中正確的個(gè)數(shù)為（ ）

①過點(diǎn)總可以作一條直線與都垂直；

②過點(diǎn)總可以作一個(gè)平面與都平行；

③過點(diǎn)總可以作一條直線與之一垂直于與另一條平行；

④過點(diǎn)總可以作一個(gè)平面與 之一垂直于與另一條平行；

⑤過點(diǎn)總可以作一個(gè)平面與直線同時(shí)垂直

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2021年我省將實(shí)施新高考，新高考“依據(jù)統(tǒng)一高考成績(jī)、高中學(xué)業(yè)水平考試成績(jī)，參考高中學(xué)生綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)信息”進(jìn)行人才選拔。我校2018級(jí)高一年級(jí)一個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，決定對(duì)某商場(chǎng)銷售的商品A進(jìn)行市場(chǎng)銷售量調(diào)研，通過對(duì)該商品一個(gè)階段的調(diào)研得知，發(fā)現(xiàn)該商品每日的銷售量（單位：百件）與銷售價(jià)格（元/件）近似滿足關(guān)系式，其中為常數(shù)已知銷售價(jià)格為3元/件時(shí)，每日可售出該商品10百件。

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)若該商品A的成本為2元/件，根據(jù)調(diào)研結(jié)果請(qǐng)你試確定該商品銷售價(jià)格的值，使該商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)（單位：百元）最大。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面⊥平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市環(huán)保部門為了讓全市居民認(rèn)識(shí)到冬天燒煤取暖對(duì)空氣數(shù)值的影響，進(jìn)而喚醒全市人民的環(huán)保節(jié)能意識(shí)。對(duì)該市取暖季燒煤天數(shù)與空氣數(shù)值不合格的天數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得出下表數(shù)據(jù)：

（天）

9

8

7

5

4

（天）

7

6

5

3

2

（1）以統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為依據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程；

（2）根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)該市燒煤取暖的天數(shù)為20時(shí)空氣數(shù)值不合格的天數(shù)．

參考公式：，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若平面,，

，求平面與平面所成角（銳角）的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】甲袋中裝有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，乙袋中裝有1個(gè)白球，2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同.

（1）從兩袋中各取1個(gè)球，記事件：取出的2個(gè)球均為白球，求；

（2）每次從甲、乙兩袋中各取2個(gè)球，若取出的白球不少于2個(gè)就獲獎(jiǎng)（每次取完后將球放回原袋），共取了3次，記獲獎(jiǎng)次數(shù)為，寫出的分布列并求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】三角形面積為S=(a+b+c)r,a,b,c為三角形三邊長(zhǎng),r為三角形內(nèi)切圓半徑,利用類比推理,可以得出四面體的體積為 ( )

A. V=abc B. V=Sh

C. V=(ab+bc+ac)·h(h為四面體的高) D. V=(S1+S2+S3+S4)·r(其中S1,S2,S3,S4分別為四面體四個(gè)面的面積,r為四面體內(nèi)切球的半徑,設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O,則球心O到四個(gè)面的距離都是r)

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