Question

如圖，以Rt△ABC直角邊AC上一點(diǎn)O為圓心，OC為半徑的⊙O與AC另一個(gè)交點(diǎn)E，D為斜邊AB上一點(diǎn)且在⊙O上，AD²=AE•AC．
（Ⅰ）證明AB是⊙O的切線；
（Ⅱ）若DE•OB=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段,圓的切線的判定定理的證明

專題：綜合題,立體幾何

分析：（Ⅰ）連接OD，CD，證明∠ACD=∠ODC，利用CE是⊙O的直徑，可得∠ODA=90°，即可確定AB是⊙O的切線；
（Ⅱ）證明△CDE∽△BCO，利用DE•OB=8，求⊙O的半徑．

解答： （Ⅰ）證明：連接OD，CD，
∵AD²=AE•AC，
∴

AD

AE

=

AC

AD

，
又∵∠DAE=∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∴∠ADE=∠ACD，
∵OD=OC，∴∠ACD=∠ODC，
又∵CE是⊙O的直徑，
∴∠ODE+∠CDO=90°，
∴∠ODA=90°，
∴AB是⊙O的切線．           …（5分）
（Ⅱ）解：∵AB、BC是⊙O的切線，
∴OB⊥DC，
∴DE∥OB，∴∠CED=∠COB，
∵∠EDC=∠OCB，
∴△CDE∽△BCO，
∴

DE

CO

=

CE

BO

，
∴DE•OB=2R²=8，
∴⊙O的半徑為2．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查圓的切線，考查三角形相似的判斷與運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．