Question

某商店商品每件成本10元，若售價(jià)為25元，則每天能賣出288件，經(jīng)調(diào)查，如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每天多賣出的商品件數(shù)t與商品單價(jià)的降低值x（單位：元，0≤x≤15）的關(guān)系是t=6x²．
（1）將每天的商品銷售利潤(rùn)y表示成x的函數(shù)；
（2）如何定價(jià)才能使每天的商品銷售利潤(rùn)最大？

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可解決．

解答： 解：（1）設(shè)商品降價(jià)x元，記商品每天的獲利為f（x），則依題意得
f（x）=（25-10-x）（288+6x²）=（15-x）（288+6x²）=-6x³+90x²-288x+4320（0≤x≤15）----------（6分）
（2）根據(jù)（1），有f′（x）=-18x²+180x-288=-18（x-2）（x-8）．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化如下表：

x	[0，2）	2	（2，8）	8	（8，15]
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	極小	單調(diào)遞增	極大	單調(diào)遞減

故x=8時(shí)，f（x）取得極大值．因?yàn)閒（8）=4704，f（0）=4320，
所以定價(jià)為25-8=17元能使一天的商品銷售利潤(rùn)最大．----------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，屬中檔題．