Question

8．若一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的外接球的表面積為（　　）

• A． 34π
• B． $\frac{80π}{3}$
• C． $\frac{91}{3}π$
• D． 114π

Answer 1

分析 作出直觀圖，求出三棱錐的外接球的半徑，即可求出幾何體的外接球的表面積．

解答 解：如圖，設底面正△BCD外接圓的圓心O₁，其半徑${r_1}={O_1}B=\frac{2}{3}×2\sqrt{3}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$；
設側面等腰△ACD外接圓的圓心O₂，
則在Rt△O₂CH中，r₂=O₂A=O₂C=4-O₂H，
由${（{4-{O_2}H}）^2}={O_2}{H^2}+{2^2}$得${O_2}H=O{O_1}=\frac{3}{2}$，
所以${R^2}=O{B^2}=OO_1^2+{O_1}{B^2}=\frac{91}{12}$，
則此三棱錐的外接球的表面積為$4π{R^2}=\frac{91}{3}π$，
故選C．

點評 本題考查三視圖，考查幾何體的外接球的表面積，正確求出三棱錐的外接球的半徑是關鍵．