Question

某大學(xué)外語系有5名大學(xué)生參加南京青奧會翻譯志愿者服務(wù)，每名大學(xué)生都隨機(jī)分配到奧體中心體操和游泳兩個比賽項目（每名大學(xué)生只參加一個項目的服務(wù)）．
（1）求5名大學(xué)生中恰有2名被分配到體操項目的概率；
（2）設(shè)X，Y分別表示5名大學(xué)生分配到體操、游泳項目的人數(shù)，記ξ=|X-Y|，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

考點：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）設(shè)5名大學(xué)生中恰有i名被分到體操項目的事件為A_i，（i=0，1，2，3，4，5），由此利用等可能事件概率計算公式能求出5名大學(xué)生中恰有2名被分配到體操項目的概率．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值是1，3，5．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)5名大學(xué)生中恰有i名被分到體操項目的事件為A_i，（i=0，1，2，3，4，5），
則P（A₂）=

C 2 5 C 3 3

25

=

5

16

．…（4分）
（Ⅱ）ξ的所有可能取值是1，3，5．
P（ξ=1）=P（A₂+A₃）=P（A₂）+P（A₃）=

C 2 5 C 3 3

25

+

C 3 2 C 2 2

25

=

5

8

；
P（ξ=3）=P（A₁+A₄）=P （A₁）+P（A₄）=

C 2 5 C 4 4

25

+

C 4 5 C 1 1

25

=

5

16

；
P（ξ=5）=P（A₁+A₄）=P（A₀）+P（A₅）=

C 0 5 C 5 5

25

+

C 5 5

25

=

1

16

．
則隨機(jī)變量ξ的分布列為[

ξ	1	3	5
P	5 8	5 16	1 16

…（10分）
則ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）=1×

5

8

+3×

5

16

+5×

1

16

=

15

8

．…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時要認(rèn)真審題，是中檔題．