Question

16．已知向量$\overrightarrow{OA}=（2，0），\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AB}=（0，1）$，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M到定直線y=1的距離等于d，并且滿足$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}=k（\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{BM}-{d^2}），k$為非負(fù)實(shí)數(shù)
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C₁的方程
（2）若將曲線C₁向左平移一個(gè)單位得到曲線C₂，試指出C₂為何種類型的曲線；
（3）若0＜k＜1，F(xiàn)₁、F₂是（2）中曲線C₂的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在C₂上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求∠F₁PF₂取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的位置．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），動(dòng)點(diǎn)M到定直線y=1的距離d=|y-1|，由題意可知：$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}=k（\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{BM}-{d^2}），k$為非負(fù)實(shí)數(shù)，代入可得（x-2）+y²=k[x（x-2）+（y-1）²-（y-1）²]，
（2）將曲線C₁向左平移一個(gè)單位得到曲線C₂，曲線${C_2}：（k-1）{（x）^2}-{y^2}=k-1$，分類k=0時(shí)，曲線${C_2}表示圓{x^2}+{y^2}=1$，$當(dāng)0＜k＜1時(shí)，曲線{C_2}表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓{x^2}+\frac{y^2}{1-k}=1$，當(dāng)k=1時(shí)，曲線C₂表示直線y=0，即表示x軸，$當(dāng)k＞1時(shí)，曲線{C_2}表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線{x^2}-\frac{y^2}{k-1}=1$；
（3）由題意可${F_1}（-\sqrt{k}，0），{F_2}（\sqrt{k}，0），直線P{F_1}的斜率為\frac{y}{{x-\sqrt{k}}}，直線P{F_2}的斜率為\frac{y}{{x+\sqrt{k}}}$，
由題意可知tan∠F₁PF₂=k=$\frac{2\sqrt{k}}{\frac{1-k}{y}-\frac{k}{1-k}y}$，由函數(shù)的單調(diào)性，即可求得即當(dāng)P點(diǎn)位于短軸頂點(diǎn)，即P取$（{0，±\sqrt{1-k}}）$，時(shí)∠F₁PF₂最大．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），由向量$\overrightarrow{OA}=（2，0），\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AB}=（0，1）$，
動(dòng)點(diǎn)M到定直線y=1的距離d=|y-1|，
由題意可知：$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}=k（\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{BM}-{d^2}），k$為非負(fù)實(shí)數(shù)，
∴（x-2）+y²=k[x（x-2）+（y-1）²-（y-1）²]，
得出M的軌跡${C_1}：（k-1）{（x-1）^2}-{y^2}=k-1$；
（2）由（1）可知，將曲線C₁向左平移一個(gè)單位得到曲線C₂，
曲線${C_2}：（k-1）{（x）^2}-{y^2}=k-1$，
當(dāng)k=0時(shí)，曲線${C_2}表示圓{x^2}+{y^2}=1$，
$當(dāng)0＜k＜1時(shí)，曲線{C_2}表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓{x^2}+\frac{y^2}{1-k}=1$，
當(dāng)k=1時(shí)，曲線C₂表示直線y=0，即表示x軸，
$當(dāng)k＞1時(shí)，曲線{C_2}表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線{x^2}-\frac{y^2}{k-1}=1$；
（3）由橢圓對(duì)稱性，不妨設(shè)橢圓上的任意一點(diǎn)為P（x，y）（y＞0），
易知${F_1}（-\sqrt{k}，0），{F_2}（\sqrt{k}，0），直線P{F_1}的斜率為\frac{y}{{x-\sqrt{k}}}，直線P{F_2}的斜率為\frac{y}{{x+\sqrt{k}}}$，
故$tan∠{F_1}P{F_2}=\frac{{\frac{y}{{x-\sqrt{k}}}-\frac{y}{{x+\sqrt{k}}}}}{{1+\frac{y}{{x-\sqrt{k}}}•\frac{y}{{x+\sqrt{k}}}}}=\frac{{2\sqrt{k}y}}{{{x^2}+{y^2}-k}}=\frac{{2\sqrt{k}y}}{{1-\frac{y^2}{1-k}+{y^2}-k}}=\frac{{2\sqrt{k}}}{{\frac{1-k}{y}-\frac{k}{1-k}y}}$，
令$f（y）=\frac{1-k}{y}-\frac{k}{1-k}y，則f（y）在（0，+∞）上遞減，而y∈（{0，\sqrt{1-k}}]$，
故$f（y）∈[{\sqrt{1-k}-\frac{k}{{\sqrt{1-k}}}，+∞}）$，
即當(dāng)P點(diǎn)位于短軸頂點(diǎn)，即P取$（{0，±\sqrt{1-k}}）$，時(shí)∠F₁PF₂最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線軌跡方程的求法，考查曲線的平移，橢圓及雙曲線的方程的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．