Question

已知函數f（x）的導數f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b．a，b為實數，1＜a＜2．
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（Ⅲ）設函數F（x）=（f′（x）+6x+1）•e^2x，試判斷函數F（x）的極值點個數．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由函數的導數可確定f（x）的表達式，先確定函數在區(qū)間[-1，1]上的單調性，從而確定了最值建立了關于a，b的方程，即可求得其值．（Ⅱ）由（Ⅰ）得到了函數的解析式，確定點P（2，1）的位置：在函數的圖象上，對P是否為切點討論，利用導數求切線的斜率，可得切線方程．（Ⅲ）先求出F'（x），通過對其符號的探討得函數的單調性，從而確定極值點的個數．
解答：解：（Ⅰ）由已知得，
由f'（x）=0，得x₁=0，x₂=a．∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，
∴當x∈[-1，0）時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
當x∈（0，1]時，f'（x）＜0，f（x）遞減．
∴f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為f（0）=b，∴b=1．
又，，
∴f（-1）＜f（1）．，即，得．
故，b=1為所求．

（Ⅱ）解：由（1）得f（x）=x³-2x²+1，f'（x）=3x²-4x，點P（2，1）在曲線f（x）上．
（1）當切點為P（2，1）時，切線l的斜率k=f'（x）|_x=2=4，
∴l(xiāng)的方程為y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．
（2）當切點P不是切點時，設切點為Q（x，y）（x≠2），
切線l的斜率，
∴l(xiāng)的方程為y-y=（3x²-4x）（x-x）．
又點P（2，1）在l上，∴1-y=（3x²-4x）（2-x），
∴1-（x³-2x²+1）=（3x²-4x）（2-x），
∴x²（2-x）=（3x²-4x）（2-x），
∴x²=3x²-4x，即2x（x-2）=0，∴x=0．∴切線l的方程為y=1．
故所求切線l的方程為4x-y-7=0或y=1．
（或者：由（1）知點A（0，1）為極大值點，
所以曲線f（x）的點A處的切線為y=1，恰好經過點P（2，1），符合題意．）

（Ⅲ）解：F（x）=（3x²-3ax+6x+1）•e^2x=[3x²-3（a-2）x+1]•e^2x．
∴F'（x）=[6x-3（a-2）]•e^2x+2[3x²-3（a-2）x+1]•e^2x=[6x²-6（a-3）x+8-3a]•e^2x．
二次函數y=6x²-6（a-3）x+8-3a的判別式為△=36（a-3）²-24（8-3a）=12（3a²-12a+11）=12[3（a-2）²-1]，
令△≤0，得：．
令△＞0，得．
∵e^2x＞0，1＜a＜2，
∴當時，F'（x）≥0，函數F（x）為單調遞增，極值點個數為0；
當時，此時方程F'（x）=0有兩個不相等的實數根，根據極值點的定義，可知函數F（x）有兩個極值點．
點評：本題考查導數在最大值，最小值中的應用，學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區(qū)間以及根據函數的增減性得到函數的最值及極值，注意分類討論思想方法的體現．