【題目】已知函數(shù)f(x)=aexx,

1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間,

2)若關(guān)于x不等式aexx+b對任意和正數(shù)b恒成立,求的最小值.

【答案】1)答案見解析.(2

【解析】

1)先求導(dǎo),再分類討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出;

2)先根據(jù)(1)利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系求出,可得,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.

1f′(x)=aex1,

當(dāng)a0時, <0,f(x)在R上單調(diào)遞減,

a>0時,令=aex1=0,x=﹣lna,

x>﹣lna時, >0,f(x)為增函數(shù),

x<﹣lna時, <0,f(x)為減函數(shù),

所以,當(dāng)時,的單調(diào)減區(qū)間為,無增區(qū)間;

當(dāng)時,的單調(diào)減區(qū)間為,增區(qū)間為.

2f(x)=aexx,由題意f(x)minb

由(1)可知,當(dāng)a0時,f(x)在R上單調(diào)遞減,無最小值,不符合題意,

當(dāng)a>0時,f(x)min=f(﹣lna)=1+lnab

,

設(shè)h(a),則 ,

a∈(01], <0a∈[1,+∞),0,

h(a)min=h1)=1.

所以的最小值為.

練習(xí)冊系列答案
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x

2

3

4

5

6

y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

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