Question

1．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=a_n•（$\sqrt{3}$）${\;}^{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，利用a₁+a₂+a₃=12可得d=2，進而可得結(jié)論；
（2）通過（1）知：b_n=2n•3ⁿ，求出S_n、3S_n的表達式，利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₁=2，可知：a₂=2+d，a₃=2+2d，
∵a₁+a₂+a₃=12，∴6+3d=12，即d=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）由（1）知：b_n=a_n•（$\sqrt{3}$）${\;}^{{a}_{n}}$=2n•${\sqrt{3}}^{2n}$=2n•3ⁿ，
∴S_n=2[1•3+2•3²+3•3³+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ]，
3S_n=2[1•3²+2•3³+…+（n-2）•3^n-1+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹]，
兩式相減，得：-2S_n=2[3+3²+3³+…+3^n-1+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹]
=2•[$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹]
=2（$\frac{1-2n}{2}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$），
∴S_n=$\frac{2n-1}{2}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查求數(shù)列的通項和前n項和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．