Question

已知過曲線C上任意一點(diǎn)P作直線x=-2p（p＞0）的垂線，垂足為M，且OP⊥OM．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)A、B是曲線C兩個不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當(dāng)α，β變化且α+β為定值θ（0＜θ＜π）時，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)P（x，y），則M（-2p，y），由OP⊥OM，得-2px+y²=0，由此能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線AB方程為y=kx+b，與y²=2px，（p＞0）聯(lián)立，得ky²-2py+2pb=0．由此能求出當(dāng)θ=

π

2

時，直線AB恒過定點(diǎn)（-2p，0），當(dāng)θ≠

π

2

時，直線AB恒過定點(diǎn)（-2p，

2p

tanθ

）．

解答： （1）解：設(shè)P（x，y），則M（-2p，y），
由OP⊥OM，得

OP

•

OM

=0，
即-2px+y²=0，
所以曲線C的方程為y²=2px．（x≠0，p＞0）．
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意得x₁≠x₂（否則α+β=π）且x₁，x₂≠0，
所以直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b，
x1=

y12

2p

，x2=

y22

2p

，
將y=kx+b與y²=2px，（p＞0）聯(lián)立消去x，得ky²-2py+2pb=0，
由韋達(dá)定理知y1+y2=

2p

k

，y1y2=

2pb

k

，①
（i）當(dāng)θ=

π

2

時，即α+β=

π

2

時，tanα•tanβ=1，
所以

y1

x1

•

y2

x2

=1，x₁x₂-y₁y₂=0，

y12y22

4p2

-y1y2=0，所以y1y2=4p2，
由①知：

2pb

k

=4p2，所以b=2pk，
因此直線AB的方程可表示為y=kx+2pk，
即k（x+2p）-y=0，所以直線AB恒過定點(diǎn)（-2p，0）．
（ii）當(dāng)θ≠

π

2

時，由α+β=θ，
得tanθ=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2p(y1+y2)

y1y2-4p2

，
將①式代入上式整理化簡，得：tanθ=

2p

b-2pk

，所以b=

2p

tanθ

+2pk，
此時，直線AB的方程可表示為y=kx+

2p

tanθ

+2pk．
即k（x+2p）-（y-

2p

tanθ

）=0，所以直線AB恒過定點(diǎn)（-2p，

2p

tanθ

）；
所以由（i）（ii）知，當(dāng)θ=

π

2

時，直線AB恒過定點(diǎn)（-2p，0），
當(dāng)θ≠

π

2

時，直線AB恒過定點(diǎn)（-2p，

2p

tanθ

）．

點(diǎn)評：本題考查曲線方程的求法，考查直線恒過定點(diǎn)的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意正切函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．