Question

在銳角△ABC中，AC=BC=2，

CO

=x

CA

+y

CB

，（其中x+y=1），函數(shù)f（λ）=|

CA

-λ

CB

|的最小值為

3

，則|

CO

|的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：由題意，利用數(shù)量積求模長(zhǎng)得出∠ACB的大小，再利用數(shù)量積和二次函數(shù)的性質(zhì)求出|

CO

|的最小值．

解答： 解：銳角△ABC中，AC=BC=2，且函數(shù)f（λ ）的最小值為

3

；
∴函數(shù)f（λ）=

CA 2-2λ CA • CB +(λ CB )2

=2

1+λ2-2λcos∠ACB

≥

3

，
即4λ²-8λcos∠ACB+1≥0恒成立；
當(dāng)且僅當(dāng)λ=-

-8cos∠ACB

2×4

=cos∠ACB時(shí)等號(hào)成立，
代入函數(shù)f（λ）中得到cos∠ACB=

1

2

，
∴∠ACB=

π

3

；
∴|

CO

|=

(x CA )2+2xy CA • CB +(y CB )2

=2

x2+2xycos∠ACB+y2

=2

x2+2x(1-x)× 1 2 +(1-x)2

=2

x2-x+1

=2

(x- 1 2 )2+ 3 4

≥2×

3 4

=

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

2

=y時(shí)，取得最小值

3

，
∴|

CO

|的最小值為

3

；
故答案為：

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用以及一元二次不等式與二次函數(shù)的最值問(wèn)題，是綜合題目．