Question

已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，若有，請(qǐng)求出的范圍；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1），無(wú)極大值；（2）見(jiàn)解析；（3）存在，或.

試題分析：（1）先找到函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)進(jìn)行作答，在條件下求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，判斷函數(shù)的極值；（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)中含有參數(shù)，所以要進(jìn)行分類討論，對(duì)分三種情況，，進(jìn)行討論，分別求出每種情況下的函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間；（3）結(jié)合（2）中的結(jié)果，找到函數(shù)的極值點(diǎn)，要滿足題中的要求，那么或，解不等式，在的范圍內(nèi)求解.
試題解析：（1） 函數(shù)的定義域是，       1分
當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值；                    4分
（2）定義域，           5分
①當(dāng)，即時(shí)，由，得的增區(qū)間為；由，得的減區(qū)間為；                6分
②當(dāng)，即時(shí)，由，得的增區(qū)間為和；由，得的減區(qū)間為；        7分
③當(dāng)，即時(shí)，由，得的增區(qū)間為和；由，得的減區(qū)間為；        8分
綜上，時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為；
時(shí)，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為；
時(shí)，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為；       9分
(3)當(dāng)時(shí)，由（2）知在的極小值為，而極大值為；
由題意，函數(shù)的圖象與在上有唯一的公共點(diǎn)，
所以，或，結(jié)合，
解得或.           13分