Question

（Ⅰ）設(shè)是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列（），且公差，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按原來(lái)的順序）是等比數(shù)列：

①當(dāng)n =4時(shí)，求的數(shù)值；②求的所有可能值；

（Ⅱ）求證：對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù)n(n≥4)，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)（按原來(lái)順序）都不能組成等比數(shù)列．

Answer 1

本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí),考查運(yùn)用分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析及論證的能力.

解：（1）①當(dāng)n=4時(shí), 中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則推出d=0。

     若刪去，則，即化簡(jiǎn)得，得

若刪去，則，即化簡(jiǎn)得，得

綜上，得或。

②當(dāng)n=5時(shí), 中同樣不可能刪去，否則出現(xiàn)連續(xù)三項(xiàng)。

若刪去，則，即化簡(jiǎn)得，因?yàn)?SUB>，所以不能刪去；

當(dāng)n≥6時(shí)，不存在這樣的等差數(shù)列。事實(shí)上，在數(shù)列中，由于不能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，若刪去，則必有，這與矛盾；同樣若刪去也有，這與矛盾；若刪去中任意一個(gè)，則必有，這與矛盾。(或者說(shuō)：當(dāng)n≥6時(shí)，無(wú)論刪去哪一項(xiàng)，剩余的項(xiàng)中必有連續(xù)的三項(xiàng))

綜上所述，。

（2）假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)n，存在一個(gè)公差為d的n項(xiàng)等差數(shù)列，其中（）為任意三項(xiàng)成等比數(shù)列，則，即，化簡(jiǎn)得   （*）

由知，與同時(shí)為0或同時(shí)不為0

當(dāng)與同時(shí)為0時(shí)，有與題設(shè)矛盾。

故與同時(shí)不為0，所以由（*）得

因?yàn)?SUB>，且x、y、z為整數(shù)，所以上式右邊為有理數(shù)，從而為有理數(shù)。

于是，對(duì)于任意的正整數(shù)，只要為無(wú)理數(shù)，相應(yīng)的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列。

例如n項(xiàng)數(shù)列1，，，……，滿足要求。