Question

8．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對于任意的x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當x∈[-1，0]時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在區(qū)間（-1，3]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個不同的實數(shù)解，則a的取值范圍是（　　）

• A． （1，3）
• B． （2，4）
• C． （3，5）
• D． （4，6）

Answer 1

分析 利用因為f（x+2）=f（x），且f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，求出函數(shù)f（x）是周期為2的偶函數(shù)，根據(jù)x∈[-1，0]時，$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}-1$，畫出f（x）在區(qū)間（-1，3]上的圖象，數(shù)形結(jié)合法，可得答案．

解答 解：由題意：f（x+2）=f（x），且f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，又f（-1）=f（1），則有f（x+2）=f（x）．
所以f（x）是周期為2的偶函數(shù)，
又∵當x∈[-1，0]時，$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}-1$，且函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，3]上的圖象如圖所示：

若在區(qū)間（-1，3]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個不同的實數(shù)解，
則log_a3＜1，log_a5＞1，
解得3＜a＜5，
故選C．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力，屬于中檔題．