【題目】對于定義域為的函數(shù),如果存在區(qū)間,同時滿足:①函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②當(dāng)定義域為時,的值域也是,則稱是該函數(shù)的和諧區(qū)間.
(1)求證:函數(shù)不存在和諧區(qū)間;
(2)已知:函數(shù)有和諧區(qū)間,當(dāng)變化時,求出的最大值;
(3)易知,函數(shù)是以任一區(qū)間為它的“和諧區(qū)間”,試再舉一例有和諧區(qū)間的函數(shù),并寫出它的個和諧區(qū)間(不需要證明,但是不能用本題已經(jīng)討論過的以及形如的函數(shù)).
【答案】(1)見解析;(2);(3)和諧區(qū)間為.
【解析】
(1)由題知函數(shù)的定義域為,設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集,得到函數(shù)在上單調(diào)遞增.再假設(shè)是函數(shù)的“和諧區(qū)間”,則,通過判斷方程無實數(shù)根得到函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”.
(2)設(shè)是函數(shù)定義域的子集,得到函數(shù)在上單調(diào)遞增,是方程的同號的不相等的實數(shù)根.利用一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根可得到或.所以,由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值.
(3)可以舉例常見的基本初等函數(shù),如.
(1)設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集.
因為,所以或.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
若是函數(shù)的“和諧區(qū)間”,則.
所以是方程的同號的不相等的實數(shù)根.
又因為無實數(shù)根,
所以函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”.
(2)設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集.
因為,所以或.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
若是函數(shù)的“和諧區(qū)間”,則.
所以是方程的同號的不相等的實數(shù)根.
整理得:是方程的同號的不相等的實數(shù)根.
因為,
所以同號,只需滿足
即或時,已知函數(shù)又“和諧區(qū)間”.
因為,
所以當(dāng)時,.
(3)例如:函數(shù),“和諧區(qū)間”為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平頂山市公安局交警支隊依據(jù)《中華人民共和國道路交通安全法》第條規(guī)定:所有主干道路凡機動車途經(jīng)十字口或斑馬線,無論轉(zhuǎn)彎或者直行,遇有行人過馬路,必須禮讓行人,違反者將被處以元罰款,記分的行政處罰.如表是本市一主干路段監(jiān)控設(shè)備所抓拍的個月內(nèi),機動車駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù):
月份 | |||||
違章駕駛員人數(shù) |
(Ⅰ)請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)與月份之間的回歸直線方程;
(Ⅱ)預(yù)測該路段月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù).
參考公式:,.
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【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域為(-2,2),函數(shù)g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函數(shù)g(x)的定義域;
(2)若f(x)是奇函數(shù),且在定義域上單調(diào)遞減,求不等式g(x)≤0的解集.
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【題目】乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運動員間進行,比賽采用7局4勝制(即先勝4局者獲勝,比賽結(jié)束),假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同.
(1)求乙以4比1獲勝的概率;
(2)求甲獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局的概率.
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【題目】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是( )
A. 消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米
B. 以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多
C. 甲車以80千米/小時的速度行駛1小時,消耗10升汽油
D. 某城市機動車最高限速80千米/小時. 相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油
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【題目】已知函數(shù)(為實數(shù)).
(I)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(II)若在上的恒成立,求的范圍;
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【題目】已知函數(shù)f(x)=a-.
(1)求f(0);
(2)探究f(x)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(3)若f(x)為奇函數(shù),求滿足f(ax)<f(2)的x的取值范圍.
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【題目】某工廠的某車間共有位工人,其中的人愛好運動。經(jīng)體檢調(diào)查,這位工人的健康指數(shù)(百分制)如下莖葉圖所示。體檢評價標(biāo)準(zhǔn)指出:健康指數(shù)不低于者為“身體狀況好”,健康指數(shù)低于者為“身體狀況一般”。
(1)根據(jù)以上資料完成下面的列聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為“身體狀況好與愛好運動有關(guān)系”?
身體狀況好 | 身體狀況一般 | 總計 | |
愛好運動 | |||
不愛好運動 | |||
總計 |
(2)現(xiàn)將位工人的健康指數(shù)分為如下組:,,,,,其頻率分布直方圖如圖所示。計算該車間中工人的健康指數(shù)的平均數(shù),由莖葉圖得到真實值記為,由頻率分布直方圖得到估計值記為,求與的誤差值;
(3)以該車間的樣本數(shù)據(jù)來估計該廠的總體數(shù)據(jù),若從該廠健康指數(shù)不低于者中任選人,設(shè)表示愛好運動的人數(shù),求的數(shù)學(xué)期望。
附:。
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【題目】已知函數(shù),若函數(shù)恰好有兩個零點,則實數(shù)等于(為自然對數(shù)的底數(shù))( )
A. B. C. D.
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