Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²-ax（a∈R）．
（1）若f（x）在其定義域上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若f（x）存在極值，試求a的取值范圍，并證明所有極值之和小于-3-ln2．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f（x）在其定義域上為增函數(shù)，得到其導(dǎo)函數(shù)對(duì)x＞0恒成立，分離參數(shù)a后由基本不等式求最小值，則a的取值范圍可求；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f（x）存在極值得導(dǎo)函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有零點(diǎn)，令導(dǎo)函數(shù)的分子為
g（x），可知方程g（x）=0有兩個(gè)不等的正根，由判別式大于0及兩根之和大于0連理不等式組求得a的取值范圍，設(shè)x₁＜x₂，分析得到f（x）的極大值為f（x₁），極小值為f（x₂），作和后證得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx+x²-ax（a∈R），
∴f′(x)=

1

x

+2x-a，x＞0．
∵f（x）在其定義域上為增函數(shù)，
∴f′(x)=

1

x

+2x-a≥0對(duì)x＞0恒成立，
即a≤

1

x

+2x，x＞0．
∵

1

x

+2x≥2

2

（當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

2

時(shí)取“=”），
∴a≤2

2

；
（2）由已知，f′(x)=

2x2-ax+1

x

在（0，+∞）內(nèi)有零點(diǎn)，
設(shè)g（x）=2x²-ax+1，
∵g（0）=1＞0，
設(shè)g（x）=0的兩根為x₁，x₂，則x1x2=

1

2

．
∴要使f′（x）=0在（0，+∞）內(nèi)有零點(diǎn)，
則方程g（x）=0有兩個(gè)不等的正根，設(shè)x₁＜x₂，
∴

△=a2-8＞0 x1+x2= a 2 ＞0

，解得a＞2

2

．
當(dāng)x∈（0，x₁），（x₂，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．
∴f（x）的極大值為f（x₁），極小值為f（x₂）．
∴f(x1)+f(x2)=(lnx1+x12-ax1)+(lnx2+x22-ax2)
=-

a2

4

-1-ln2＜-3-ln2．
∴f（x）的所有極值之和小于-3-ln2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了函數(shù)零點(diǎn)的判斷，是壓軸題．