Question

若曲線C₁：y=ax³-6x²+12x與曲線C₂：y=e^x在x=1處的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線與圓

分析：分別求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求得兩函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值，由題意知兩導(dǎo)數(shù)值的乘積等于-1，由此求得a的值．

解答： 解：由y=ax³-6x²+12x，得y′=3ax²-12x+12，
∴y′|_x=1=3a，
由y=e^x，得y′=e^x，
∴y′|_x=1=e．
∵曲線C₁：y=ax³-6x²+12x與曲線C₂：y=e^x在x=1處的切線互相垂直，
∴3a•e=-1，解得：a=-

1

3e

．
故答案為：-

1

3e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，同時(shí)考查兩直線垂直的條件，屬于中檔題．