Question

已知函數(shù)f（x）=ln

1+x

1-x

，x₁，x₂∈（-1，1）．
（1）求證：f（x₁）+f（x₂）=f（

x1+x2

1+x1x2

）；
（2）若a，b∈（-1，1），且f（

a+b

1+ab

）=1，f（-b）=

1

2

，求f（a）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知條件利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則能證明f（x₁）+f（x₂）=f（

x1+x2

1+x1x2

）．
（2）由已知得f（b）=-

1

2

，f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）=1，由此能求出f（a）=1-f（b）=1+

1

2

=

3

2

．

解答： （1）證明：∵f（x）=ln

1+x

1-x

，x₁，x₂∈（-1，1），
∴f（x₁）+f（x₂）
=ln

1+x1

1-x1

+ln

1+x2

1-x2

=ln(

1+x1

1-x1

•

1+x2

1-x2

)
=ln

1+x1x2+x1+x2

1+x1x2-x1-x2

=ln

1+ x1+x2 1+x1x2

1- x1+x2 1+x1x2

=f（

x1+x2

1+x1x2

），
∴f（x₁）+f（x₂）=f（

x1+x2

1+x1x2

）．
（2）解：∵a，b∈（-1，1），且f（

a+b

1+ab

）=1，f（-b）=

1

2

，
∴f（b）=-

1

2

，
f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）=1，
∴f（a）=1-f（b）=1+

1

2

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等式的證明，考查函數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的合理運(yùn)用．