已知點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡曲線C滿足∠AMB＝2θ，cos2 θ＝3.

(1)求曲線C的方程；

(2)試探究曲線C上是否存在點(diǎn)P，使直線PA與PB的斜率kPA·kPB＝1.若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)，并說(shuō)明理由(不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo))．


解析：(1)設(shè)M(x，y)，在△MAB中，|AB|＝2，∠AMB＝2θ，根據(jù)余弦定理得

因此點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓(點(diǎn)M在x軸上也符合題意)，所以a＝2，c＝1.

所以曲線C的方程為＋＝1.

(2)由(1)知曲線C是橢圓，它的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－1，0)，B(1,0)，設(shè)P(x，y)是橢圓上的點(diǎn)，由kPA·kPB＝1，得＝1(x≠±1)，即x2－y2＝1(x≠±1)，這是實(shí)軸在x軸，頂點(diǎn)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線，它與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.由于雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)在橢圓內(nèi)，根據(jù)橢圓和雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，它們必有四個(gè)交點(diǎn)，即圓心M的軌跡上存在四個(gè)點(diǎn)P，使直線PA與PB的斜率kPA·kPB＝1.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


過(guò)點(diǎn)(－1，－2)的直線l被圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦長(zhǎng)為，則直線l的斜率為_(kāi)___________．

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已知圓C：x2＋y2－6x－6y＋17＝0，過(guò)原點(diǎn)的直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，則直線l的方程是_______________．

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如圖，

拋物線C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．點(diǎn)M(x0，y0)在拋物線C2上，過(guò)M作C1的切線，切點(diǎn)為A，B(M為原點(diǎn)O時(shí)，A，B重合于O)．當(dāng)x0＝1－時(shí)，切線MA的斜率為－.

(1)求p的值；

(2)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A，B重合于O時(shí)，中點(diǎn)為O)．

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已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為(　　)

A.＋＝1              B.＋＝1

C.＋＝1             D.＋＝1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，全集I＝{1,2,3,4,5}，則圖中陰影部分表示的集合為(　　)

A．{1}                   B．{2,3}

C．{4}                   D．{5}

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設(shè)全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．

(1)求(∁IM)∩N；

(2)記集合A＝(∁IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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已知命題p：|2x－3|>1，命題q：log(x2＋x－5)<0，則綈p是綈q的____________條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足csin A＝acos C.

(1)求角C的大�。�

(2)求sin A－sin的最大值，并求取得最大值時(shí)角A，B的大�。�

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