Question

如圖，已知橢圓E：（a＞b＞0），焦點為F₁、F₂，雙曲線G：x²-y²=m（m＞0）的頂點是該橢圓的焦點，設P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF₁、PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D，已知三角形ABF₂的周長等于，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁和k₂，探求k₁和k₂的關系；
（3）是否存在常數λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三角形ABF₂的周長等于，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為可求出a，b的值，再利用雙曲線G：x²-y²=m（m＞0）的頂點是該橢圓的焦點進而可求出m的值．
（2）可利用斜率公式k=表示出k₁，k₂再探求k₁和k₂的關系，關系無非就是和，差，積，商．
（3）牽涉到|AB|，|CD|，|AB|，|CD|需用到弦長公式，因而需要聯(lián)立方程，故需要把直線AB的方程設出來聯(lián)立方程代入計算即可．
解答：解：（1）由題意知，橢圓中
所以橢圓的標準方程為
又頂點與焦點重合，所以m=c²=a²-b²=4；
所以該雙曲線的標準方程為．
（2）設點P（x，y），x≠±2
P在雙曲線上，所以y²=x²-4所以k₁•k₂=1
（3）設直線AB：y=k₁（x+2）k₁≠0
由方程組得（2k₁²+1）x²+8k₁²x+8k₁²-8=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
所以
由弦長公式
同理
由代入得
所以存在使得|AB|+|CD|=λ|AB|CD|成立．
點評：此題第一問較簡單屬基礎，第二問較復雜，一般情況下的關系無非就是和，差，積，商，關鍵是P在雙曲線上，所以y²=x²-4然后代入計算．第三問是平常較常見的類型，主要是計算繁瑣，只要計算不出錯都可以達到目的．