Question

如圖，已知橢圓E：

x2

8

+

y2

4

=1焦點為F₁、F₂，雙曲線G：x²-y²=4，設(shè)P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF₁、PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（1）設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁和k₂，求k₁•k₂的值；
（2）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出點P的坐標，表示出斜率，利用P是雙曲線G上異于頂點的任一點，即可求得k₁•k₂的值；
（2）設(shè)出直線AB，CD的方程與橢圓方程聯(lián)立，求得相應(yīng)弦長，利用|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，可得λ=

|AB|+|CD|

|AB|•|CD|

=

1

|AB|

+

1

|CD|

=

3 2

8

，從而問題得解．

解答：解：（1）設(shè)點P（x，y），x≠±2，那么k1=

y

x+2

，k2=

y

x-2

∴k1k2=

y

x+2

×

y

x-2

=

y2

x2-4

∵P是雙曲線G上異于頂點的任一點
∴x²-y²=4，
∴y²=x²-4，
∴k₁k₂=1
（2）設(shè)直線AB：y=k₁（x+2），k₁≠0
由方程組

y=k1(x+2) x2 8 + y2 4 =1

得(2k12+1)x2+8k12x+8k12-8=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x1+x2=

-8k12

2k12+1

，x1x2=

8k12-8

2k12+1

由弦長公式得|AB|=

1+k12

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2 (1+k12)

2k12+1

同理設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），|CD|=

1+k22

(x3+x4)2-4x3x4

=

4 2 (1+k22)

2k22+1

由（1）k₁•k₂=1得，k2=

1

k1

，代入得|CD|═

4 2 (1+k12)

k12+2

∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，∴λ=

|AB|+|CD|

|AB|•|CD|

=

1

|AB|

+

1

|CD|

=

3 2

8

則存在λ=

3 2

8

，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．

點評：本題重點考查直線與圓錐曲線的綜合，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式，綜合性強．