如圖,已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),焦點為F1、F2,雙曲線G:x2-y2=m(m>0)的頂點是該橢圓的焦點,設(shè)P是雙曲線G上異于頂點的任一點,直線PF1、PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D,已知三角形ABF2的周長等于8
2
,橢圓四個頂點組成的菱形的面積為8
2

(1)求橢圓E與雙曲線G的方程;
(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2,探求k1和k2的關(guān)系;
(3)是否存在常數(shù)λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,試求出λ的值;若不存在,請說明理由.
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分析:(1)根據(jù)三角形ABF2的周長等于8
2
,橢圓四個頂點組成的菱形的面積為8
2
可求出a,b的值,再利用雙曲線G:x2-y2=m(m>0)的頂點是該橢圓的焦點進(jìn)而可求出m的值.
(2)可利用斜率公式k=
y2-y1
x2-x1
表示出k1,k2再探求k1和k2的關(guān)系,關(guān)系無非就是和,差,積,商.
(3)牽涉到|AB|,|CD|,|AB|,|CD|需用到弦長公式,因而需要聯(lián)立方程,故需要把直線AB的方程設(shè)出來聯(lián)立方程代入計算即可.
解答:解:(1)由題意知,橢圓中4a=8
2
,a=2
2
,2ab=8
2
,b=2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
8
+
y2
4
=1

又頂點與焦點重合,所以m=c2=a2-b2=4;
所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
-
y2
4
=1

(2)設(shè)點P(x,y),x≠±2k1=
y
x+2
k2=
y
x-2
k1k2=
y2
x2-4

P在雙曲線上,所以
x2
4
-
y2
4
=1
y2=x2-4所以k1•k2=1
(3)設(shè)直線AB:y=k1(x+2)k1≠0
由方程組
y=k1(x+2)
x2
8
+
y2
4
=1
得(2k12+1)x2+8k12x+8k12-8=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2
所以x1+x2=
-8k12
2k12+1
,x1x2=
8k12-8
2k12+1

由弦長公式|AB|=
1+k12
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
2
(1+k12)
2k12+1

同理|CD|=
1+k22
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
2
(1+k22)
2k22+1

k1k2=1,k2=
1
k1
代入得|CD|=
4
2
(1+k12)
k12+2
|AB|+|CD|=λ|AB|CD|,λ=
1
|AB|
+
1
|CD|
=
3
2
8

所以存在λ=
3
2
8
使得|AB|+|CD|=λ|AB|CD|成立.
點評:此題第一問較簡單屬基礎(chǔ),第二問較復(fù)雜,一般情況下的關(guān)系無非就是和,差,積,商,關(guān)鍵是P在雙曲線上,所以
x2
4
-
y2
4
=1
y2=x2-4然后代入計算.第三問是平常較常見的類型,主要是計算繁瑣,只要計算不出錯都可以達(dá)到目的.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
3
2
,E的左頂點為A、上頂點為B,點P在橢圓上,且△PF1F2的周長為4+2
3

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(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)C,D是橢圓E上兩不同點,CD∥AB,直線CD與x軸、y軸分別交于M,N兩點,且
MC
CN
,
MD
DN
,求λ+μ
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•寧波二模)如圖,已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
的離心率是
2
2
,P1、P2是橢圓E的長軸的兩個端點(P2位于P1右側(cè)),點F是橢圓E的右焦點.點Q是x軸上位于P2右側(cè)的一點,且滿足
1
|P1Q|
+
1
|P2Q|
=
2
|FQ|
=2

(Ⅰ) 求橢圓E的方程以及點Q的坐標(biāo);
(Ⅱ) 過點Q的動直線l交橢圓E于A、B兩點,連結(jié)AF并延長交橢圓于點C,連結(jié)BF并延長交橢圓于點D.
①求證:B、C關(guān)于x軸對稱;
②當(dāng)四邊形ABCD的面積取得最大值時,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年安徽省宿州市高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,已知橢圓E的中心是原點O,其右焦點為F(2,0),過x軸上一點A(3,0)作直線與橢圓E相交于P,Q兩點,的最大值為.

()求橢圓E的方程;

()設(shè),過點P且平行于y軸的直線與橢圓E相交于另一點M,試問M,F,Q是否共線,若共線請證明;反之說明理由.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆吉林省高二期中考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,已知橢圓E經(jīng)過點A(2,3),對稱軸為坐標(biāo)軸,焦點在x軸上,離心率

(1)求橢圓E的方程;

(2)求的角平分線所在直線的方程.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013年浙江省寧波市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,已知橢圓E:的離心率是,P1、P2是橢圓E的長軸的兩個端點(P2位于P1右側(cè)),點F是橢圓E的右焦點.點Q是x軸上位于P2右側(cè)的一點,且滿足
(Ⅰ) 求橢圓E的方程以及點Q的坐標(biāo);
(Ⅱ) 過點Q的動直線l交橢圓E于A、B兩點,連結(jié)AF并延長交橢圓于點C,連結(jié)BF并延長交橢圓于點D.
①求證:B、C關(guān)于x軸對稱;
②當(dāng)四邊形ABCD的面積取得最大值時,求直線l的方程.

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