【題目】已知橢圓G的右焦點為F,過F的直線l交橢圓于A、B兩點,直線與l不與坐標軸平行,若AB的中點為NO為坐標原點,直線ON交直線x3于點M.

1)求證:MFl;

2)求的最大值,

【答案】1)證明見解析(2

【解析】

1)由題意的方程可得右焦點F的坐標,由題意設(shè)直線l的方程與橢圓聯(lián)立可得兩根之和,求出AB的中點N的坐標,進而可得直線ON的斜率,求出直線ON的方程,令x3可得M的縱坐標,即求出M的坐標,求出直線MF的斜率可證得與直線l的斜率互為負倒數(shù),所以可證得MF垂直直線l

2)由(1MF,AB的值,求出兩者之比,由均值不等式可得的最大值.

1)由橢圓的方程開發(fā)右焦點F的坐標(2,0),

有題意設(shè)直線AB的方程為xmy+2,設(shè)Ax1,y2),Bx2,y2),

整理可得(3+m2y2+4my20,y1+y2,y1y2,

所以AB的中點N的縱坐標yN,代入直線AB的方程可得N的橫坐標xN2,即N),

所以kON,

所以直線ON的方程為:yx,令x3,所以y=﹣m,

M3,﹣m),

所以kMFm,而,所以kMF=﹣1,

所以MFl;

2)由(1)可得|MF|

|AB||y1y2|,

所以,當且僅當,即m=±1時取等號.

所以的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
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