Question

已知

a

=（2sin（x+

θ

2

），

3

），

b

=（cos（x+

θ

2

），2cos²（x+

θ

2

）），f（x）=

a

•

b

-

3

．
（1）求f（x）的解析式
（2）若0＜θ＜π，求θ使f（x）為偶函數(shù)，并求此時(shí)f（x）=1，x∈[-π，π]的角的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）直接根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解即可；
（2）根據(jù)所給函數(shù)為偶函數(shù)，得到θ=

π

6

，然后，結(jié)合三角函數(shù)的圖象求解即可．

解答： 解：（1）∵

a

=（2sin（x+

θ

2

），

3

），

b

=（cos（x+

θ

2

），2cos²（x+

θ

2

）），
∴f（x）=

a

•

b

-

3

=2sin（x+

θ

2

）cos（x+

θ

2

）+2

3

cos²（x+

θ

2

）-

3

=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）
=2sin（2x+θ+

π

3

）．
∴f（x）=2sin（2x+θ+

π

3

）．
（2）∵f（x）為偶函數(shù)，
∴θ+

π

3

=

π

2

+kπ，（k∈Z），
∴θ=

π

6

+kπ，
∵0＜θ＜π，
∴θ=

π

6

，
∴f（x）=2cos2x，
∵f（x）=1，
∴2cos2x=1，
∴cos2x=

1

2

，
∴2x=±

π

3

+2kπ，k∈Z，
∴x=±

π

6

+kπ，
∵x∈[-π，π]，
∴x=-

π

6

，

π

6

，

5π

6

，
∴角的集合{-

π

6

，

π

6

，

5π

6

}．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角恒等變換、三角公式的知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．