已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，半長軸長的平方與半焦距相等，過橢圓的左焦點F1作傾斜角為45°的直線l與橢圓交于A、B兩點，設M為A、B的中點，且直線L與直線OM的夾角余弦值為
5
5
，求橢圓的方程．
考點：橢圓的簡單性質
專題：計算題,作圖題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：作出圖象，設橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，與直線方程聯(lián)立，解出點M的坐標，從而由三角恒等變換可求出直線OM的斜率，從而得到方程組，解方程組即可．
解答： 解：如圖，由題意，設橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1；
則由cos∠BMO=
5
5
可得，
tan∠BMO=2，
則tan∠MOF1=
tan∠BMO-tan45°
1+tan∠BMO•tan45°
=
1
3
，
設直線l的方程為y=x+c，
與橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1聯(lián)立可得，
（a2+b2）x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0，
則由韋達定理可得，
x1+x2=-2
a2c
a2+b2
，y1+y2=2
b2c
a2+b2
；
則M（-
a2c
a2+b2
，
b2c
a2+b2
），
則由題意可得，
b2c
a2+b2
：
a2c
a2+b2
=
1
3
，
又∵c=a2，a2=b2+c2，
解得，c=
2
3
，a2=
2
3
，b2=
2
9
；
故橢圓的方程為
3x2
2
+
9y2
2
=1．
點評：本題考查了橢圓與直線的位置關系，同時考查了三角恒等變換，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=
x+2
+
1-x
的定義域是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設拋物線y2=8x的焦點是F，有傾斜角為45°的弦AB，|AB|=8
5
，求△FAB的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一廣告氣球被一束平行光線投射到水平地面，且與地面成45°角，在地面形成一個橢圓，則這個橢圓的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知指數(shù)函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（2，
1
9
）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知f（|x|）＞f（1），求x的取值范圍；
（3）證明f（a）•f（b）=f（a+b）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosα，sinα），且k
a
+
b
的長度是
a
-k
b
的長度的
3
倍（k＞0）．
（1）求證：
a
+
b
與
a
-
b
垂直；
（2）用k表示
a
•
b
；
（3）用
a
•
b
的最小值以及此時
a
與
b
的夾角θ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知b＞0，直線x-b2y-1=0與直線（b2+1）x+ay+2=0互相垂直，則ab的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2-bx+1．
（Ⅰ）若a＞0，不等式f（x）≥0的解集為A，1∉A，2∈A，求a+b的取值范圍；
（Ⅱ）若a為整數(shù)，b=a+2，且函數(shù)f（x）在（-2，-1）上恰有一個零點，求a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若函數(shù)g（x）=lnx+x+2+f′（x）對任意的x∈（1，+∞），有（x+1）g（x）+
x2-2x+k＞0恒成立，求實數(shù)k的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

從某校高三年級800名學生中隨機抽取50名測量身高，據(jù)測量，被抽取的學生的身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結果按如下方式分成八組：第一組[155，160），第二組[160，165），…，第八組[190，195]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖：
（1）求出如圖中第七組所代表的矩形的縱坐標；
（2）試估計這所學校高三年級800名學生中身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)為多少；
（3）根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)？

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