Question

已知指數(shù)函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（2，

1

9

）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知f（|x|）＞f（1），求x的取值范圍；
（3）證明f（a）•f（b）=f（a+b）．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）將已知點代入求出待定參數(shù)，求出指數(shù)函數(shù)的解析式即可．
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出x的不等式，解得即可，
（3）根據(jù)冪的運算性質(zhì)，即可得到答案．

解答： 解：（1）設指數(shù)函數(shù)f（x）=a^x，將點（2，

1

9

）代入
得

1

9

=a²，解得  a=

1

3

∴f（x）=（

1

3

）^x，
（2）由（1）知指數(shù)函數(shù)f（x）=（

1

3

）^x，在R上是減函數(shù)
又f（|x|）＞f（1），∴|x|＜1
解得-1＜x＜1，
（3）證明：∵f（a）•f（b）=（

1

3

）^a（

1

3

）^b=（

1

3

）^a+b=f（a+b），
∴f（a）•f（b）=f（a+b）．

點評：本題考查指數(shù)函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的單調(diào)性的應用，考查計算能力．