Question

雙曲線M：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）實(shí)軸的兩個頂點(diǎn)為A，B，點(diǎn)P為雙曲線M上除A、B外的一個動點(diǎn)，若QA⊥PA且QB⊥PB，則動點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡為（　�。�

• A、圓
• B、橢圓
• C、雙曲線
• D、拋物線

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)雙曲線方程算出A（-a，0），B（a，0）．設(shè)P（m，n），Q（x，y），由QA⊥PA且QB⊥PB，可得m²-a²=

n2y2

x2-a2

，結(jié)合點(diǎn)P（m，n）為雙曲線M上除A、B外的一個動點(diǎn)，化簡得動點(diǎn)Q的軌跡方程，可得本題答案．

解答： 解：設(shè)P（m，n），Q（x，y）
∵雙曲線M：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）實(shí)軸的兩個頂點(diǎn)為A，B，
∴A（-a，0），B（a，0）
∴

QA

=（-x-a，-y），

PA

=（-m-a，-n）
∵QA⊥PA，∴（-x-a）（-m-a）+ny=0，可得m+a=-

ny

x+a

…①
同理根據(jù)QB⊥PB，可得m-a=-

ny

x-a

…②
①×②，可得m²-a²=

n2y2

x2-a2

．…③
∵點(diǎn)P（m，n）為雙曲線M上除A、B外的一個動點(diǎn)，
∴

m2

a2

-

n2

b2

=1，整理得n²=

b2

a2

（m²-a²），
代入③化簡得

x2

a2

-

y2

a4 b2

=1．
故選：C．

點(diǎn)評：本題著重考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)、向量數(shù)量積的計(jì)算公式和動點(diǎn)軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．