Question

（1）證明：A+B+C=nπ（A，B，C≠kπ+

π

2

，k∈Z，n∈Z）的充要條件是tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
（2）利用（1）計(jì)算

tan20°+tan40°+tan120°

tan20°tan40°

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù)

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）必要性：若A+B+C=nπ，則A+B=nπ-C，依題意，利用兩角和的正切，變形整理，即可證得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
充分性：若tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，變形后有tanA+tanB=（1-tanAtanB）tanC，逆用兩角和的正切，變形整理可得tan（A+B）=tan（-C），繼而可得A+B+C=nπ（n∈Z）；
（2）觀察可知，20°+40°+120°=180°，利用（1）的結(jié)論，易求

tan20°+tan40°+tan120°

tan20°tan40°

的值．

解答： （1）證明：必要性：若A+B+C=nπ，則A+B=nπ-C，又A，B，C≠kπ+

π

2

，k∈Z，n∈Z，
∴tan（A+B）=tan（nπ-C），
∴

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-tanC，
∴tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
充分性：若tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，
則tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC=（1-tanAtanB）tanC，依題意，1-tanAtanB≠0，
∴

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-tanC，
∴tan（A+B）=tan（-C），
∴A+B=nπ-C，n∈Z，
∴A+B+C=nπ（n∈Z），
∴A+B+C=nπ（A，B，C≠kπ+

π

2

，k∈Z，n∈Z）的充要條件是tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
（2）解：由∵20°+40°+120°=180°，由（1）知，tan20°+tan40°+tan120°=tan20°tan40°tan120°，
∴

tan20°+tan40°+tan120°

tan20°tan40°

=

tan20°•tan40°•tan120°

tan20°tan40°

=tan120°=-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，著重考查充分必要性的證明，考查轉(zhuǎn)化思想與推理證明能力，屬于中檔題．