Question

（文）在等比數(shù)列{a_n}中，a₁＞0，n∈N^*，且a₅-a₄=8，又a₂、a₈的等比中項為16．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=log₄a_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求和

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的通項公式由已知條件求出首項和公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=log₄2^n-1=

n-1

2

，得到S_n=

n(n-1)

4

．從而得到

1

Sn

=

4

n(n-1)

=

4

n-1

-

4

n

，由此利用裂項求和法能求出結(jié)果．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
由題意可得a₅=16，又a₅-a₄=8，
則a₄=8，∴q=2．
∴a_n=2^n-1，n∈N^*．
（2）∵b_n=log₄2^n-1=

n-1

2

，
由a₁=1，得b₁=0，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

n(n-1)

4

．
∵

1

Sn

=

4

n(n-1)

=

4

n-1

-

4

n

，
∴

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=4(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

)=4(1-

1

n

)．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．