Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π，x∈R） f（x）=Asin（x+φ）的最大值是2，其圖象經(jīng)過點M（

π

3

，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知α，β∈（0，

π

2

），且f（α）=

6

5

，f（β）=

24

13

，求f（α-β）的值．

Answer 1

分析：（1）通過函數(shù)的最大值求出A，函數(shù)經(jīng)過（

π

3

，1）結(jié)合0＜φ＜π，求出φ，然后求f（x）的解析式；
（2）通過f（α）=

6

5

，f（β）=

24

13

，求出cosα，cosβ，α，β∈（0，

π

2

），求出sinα=

4

5

，sinβ=

5

13

，然后利用兩角差的余弦函數(shù)f（α-β）的值．

解答：解：（1）因為函數(shù)的最大值為2，∴A=2…．（1分）∵f（x）的圖象經(jīng)過點M（

π

3

，1）
∴2sin（

π

3

+φ）=1，sin（

π

3

+φ）=

1

2

…（3分）
因為0＜φ＜π，

π

3

＜

π

3

+φ＜

4π

3

，

π

3

+φ=

5π

6

，φ=

π

2

…（5分）
∴f（x）=2sin（x+

π

2

）=2cosx．…（6分）．
（2）因為f（α）=2cosα=

6

5

，f（β）=2cosβ=

24

13

，…（7分）
∵f(β)=2cosβ=

24

13

，∴cosβ=

12

13

…（8分）
因為α，β∈（0，

π

2

），∴sinα=

4

5

，sinβ=

5

13

…（10分）
∴f（α-β）=2cos（α-β）=2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2（

3

5

×

12

13

+

4

5

×

5

13

）=

112

65

…（12分）．

點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)值的求法，考查計算能力．