Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為b_n，數(shù)列{b_n}的前n項積為c_n，且恒有b_n+c_n=1，則數(shù)列{

1

an

}中最接近2011的是第

44

項．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，依次求出數(shù)列{a_n}的前幾項，進而歸納出{a_n}的通項公式，具體為當(dāng)n=1時，有a₁=b₁，b₁=c₁，則a₁=b₁=c₁，又由b_n+c_n=1，則b₁=c₁=

1

2

，進而可得a₁=

1

2

；n=2時，有b₂+c₂=1，即b₂+b₁b₂=1，又由b₁的值，可得b₂的值，結(jié)合b₂=a₁+a₂，可得a₂=

1

6

；同理可得a₃=

1

12

；a₄=

1

20

；可以歸納出a_n=

1

n(n+1)

；令n（n+1）=2011；解可得n≈44.3；即最接近2011的是

1

a44

與

1

a45

，計算兩者的大小，比較可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，有b_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，c_n=b₁×b₂×b₃×…×b_n，
n=1時，有a₁=b₁，b₁=c₁，則a₁=b₁=c₁，
又由b_n+c_n=1，則b₁=c₁=

1

2

，進而可得a₁=

1

2

；
n=2時，有b₂+c₂=1，即b₂+b₁b₂=1，又由b₁=

1

2

，
易得b₂=

2

3

，
又由b₂=a₁+a₂，可得a₂=

1

6

；
同理可得：a₃=

1

12

；a₄=

1

20

；…
猜想a_n=

1

n(n+1)

；
則

1

an

=n（n+1）；
令n（n+1）=2011；
解可得n≈44.3；
n=44時，

1

a44

=44×45=1980，
n=45時，

1

a45

=45×56=2070，
比較可得，

1

a44

比較接近2011；
故答案為44．

點評：本題考查數(shù)列的遞推公式的運用、歸納推理的運用；解題的關(guān)鍵在于歸納出{a_n}的通項公式．