Question

設(shè)關(guān)于x的方程x²-mx-1=0有兩個實根α、β，且α＜β．定義函數(shù)
（Ⅰ）求αf（α）+βf（β）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）在區(qū)間（α，β）上的單調(diào)性，并加以證明；
（Ⅲ）若λ，μ為正實數(shù)，證明不等式：

Answer 1

解：（Ⅰ）α，β是方程x²-mx-1=0的兩個實根
∴
∴
同理
∴αf（α）+βf（β）=2
（Ⅱ）∵
∴
當(dāng)x∈（α，β）時，x²-mx-1=（x-α）（x-β）＜0
而f'（x）＞0
∴f（x）在（α，β）上為增函數(shù)
（Ⅲ）∵λ，μ∈R₊且α＜β
∴
∴
由（Ⅱ）可知
同理可得
∴
∴
又由（Ⅰ）知
∴
所以
分析：（1）因為α，β是方程x²-mx-1=0的兩個實根，則利用根與系數(shù)的關(guān)系即f（x）的解析式求出f（α）和f（β）即可求出αf（α）+βf（β）的值；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)并利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)推導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)大于零則該函數(shù)為增函數(shù)；（3）此題要證不等式成立，先求出和的取值范圍，根據(jù)函數(shù)的增減性判斷出其函數(shù)值的取值范圍把兩個函數(shù)值相減的左邊不等式在根據(jù)（1）中的結(jié)論推出得證．
點評：考查學(xué)生函數(shù)與方程的綜合運用能力．