設(shè)關(guān)于x的方程x2-mx-1=0有兩個(gè)實(shí)根α,β,且α<β.定義函數(shù)f(x)=
2x-mx2+1

(1)當(dāng)α=-1,β=1時(shí),判斷f(x)在R上的單調(diào)性,并加以證明;
(2)求αf(α)+βf(β)的值.
分析:(1)根據(jù)韋達(dá)定理,由α=-1,β=1,可求出m值,進(jìn)而求出函數(shù)f(x)的解析式,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可得答案.
(2)由α,β是方程x2-mx-1=0的兩個(gè)實(shí)根,根據(jù)韋達(dá)定理可得
α+β=m
α•β=-1
,代入分別求出f(α),f(β)的值,進(jìn)而可求αf(α)+βf(β)的值.
解答:解:(1)∵α=-1,β=1,
由韋達(dá)定理可得:m=α+β=0
f(x)=
2x
x2+1
------(2分)
設(shè)x1<x2
f(x2)-f(x1)=
2x2
x22+1
-
2x1
x12+1
=
2x2.(x12+1)-2x1(x22+1)
(x22+1)(x12+1)
=
2(x2-x1)(1-x1x2)
(x22+1)(x12+1)

∵(x2-x1)>0,
當(dāng)x2,x1>1時(shí),(1-x1x2)<0,此時(shí)f(x2)-f(x1)<0,函數(shù)為減函數(shù),
當(dāng)-1<x2,x1<1時(shí),(1-x1x2)>0,此時(shí)f(x2)-f(x1)>0,函數(shù)為增函數(shù),
當(dāng)x2,x1<-1時(shí),(1-x1x2)<0,此時(shí)f(x2)-f(x1)<0,函數(shù)為減函數(shù),(9分)
(2)∵α,β是方程x2-mx-1=0的兩個(gè)實(shí)根,
α+β=m
α•β=-1

f(α)=
2α-m
α2+1
=
2α-(α+β)
α2-αβ
=
α-β
α(α-β)
=
1
α
,
同理f(β)=
1
β
,
∴αf(α)+βf(β)=α•
1
α
+β•
1
β
=1+1=2.(13分)
點(diǎn)評:本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理),熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)是解答的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)關(guān)于x的方程x2-(m+i)x-(2+i)=0,m是實(shí)數(shù);
(1)若上述方程有實(shí)根,求出其實(shí)根以及此時(shí)實(shí)數(shù)m的值;
(2)證明:對任意實(shí)數(shù)m,方程不存在純虛數(shù)根.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)關(guān)于x的方程x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0,若方程有實(shí)數(shù)根,求銳角θ和實(shí)數(shù)根.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)關(guān)于x的方程x2-mx-1=0 有兩個(gè)實(shí)根α、β,且α<β.定義函數(shù)f(x)=
2x-m
x2+1

(1)求αf(α)+βf(β) 的值;
(2)判斷f(x) 在區(qū)間(α,β) 上的單調(diào)性,并加以證明;
(3)若λ,μ 為正實(shí)數(shù),求證:|f(
λα+μβ
λ+μ
)-f(
μα+λβ
λ+μ
)|<|f(α)-f(β)|

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知z是復(fù)數(shù),z+i和
z1-i
都是實(shí)數(shù)
,(1)求復(fù)數(shù)z;(2)設(shè)關(guān)于x的方程x2+x(1+z)-(3m-1)i=0有實(shí)根,求純虛數(shù)m.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案