Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

3

2

，且經(jīng)過點(diǎn)P（4，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P的直線l：y=1與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，點(diǎn)A、B是橢圓C上位于直線l兩側(cè)的動點(diǎn)，且直線AP與BP關(guān)于l對稱，求四邊形APBQ面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的簡單性質(zhì),直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，利用離心率以及橢圓經(jīng)過的點(diǎn)，列出方程組，求出ab，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AP的斜率為k，則直線BP的斜率為-k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．推出直線AP的方程為y=k（x-4）+1與橢圓方程聯(lián)立，求出A、B的坐標(biāo)，表示出四邊形APBQ的面積，利用基本不等式求出四邊形APBQ面積的最大值．

解答：
解：（Ⅰ）設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，焦距為2c…（1分）
由條件可得：e2=1-

b2

a2

=(

3

2

)2=

3

4

，∴a²=4b²，

16

a2

+

1

b2

=1，又a²=b²+c²
解得：a²=20，b²=5，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

20

+

y2

5

=1…（5分）
（Ⅱ）設(shè)直線AP的斜率為k，則直線BP的斜率為-k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴直線AP的方程為y=k（x-4）+1…（7分）
聯(lián)立

x2 20 + y2 5 =1 y=k(x-4)+1

整理得（4k²+1）x²+（8k-32k²）x+64k²-32k-16=0．
∴x1+4=

32k2-8k

4k2+1

，x1=

16k2-8k-4

4k2+1

，∴y1=

-4k2-8k+1

4k2+1

…（9分）
將上式中的k用-k代入可得y2=

-4k2+8k+1

4k2+1

…（10分）
所以四邊形APBQ的面積S=

1

2

|PQ|•|y2-y1|…（11分）
=

64|k|

4k2+1

=

64

4|k|+ 1 |k|

≤16…（12分）
故四邊形APBQ面積的最大值為16…（13分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．