Question

14．已知非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$，且|$\overrightarrow{a}$|=|$λ\overrightarrow$|，若（2$\overrightarrow{a}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），則實數(shù)λ的值等于$±\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由（2$\overrightarrow{a}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）得（2$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=0，展開后代入數(shù)量積公式，結(jié)合|$\overrightarrow{a}$|=$|λ\overrightarrow|$可求實數(shù)λ的值．

解答 解：由（2$\overrightarrow{a}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），得（2$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=0，
∴$2|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，
∵非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$，且|$\overrightarrow{a}$|=$|λ\overrightarrow|$，
∴$2{λ}^{2}|\overrightarrow{|}^{2}+2|λ|•|\overrightarrow|•|\overrightarrow|cos\frac{2π}{3}=0$，
即2λ²-|λ|=0，
由題意知λ≠0，∴|λ|=$\frac{1}{2}$，得$λ=±\frac{1}{2}$．
故答案為：$±\frac{1}{2}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，關鍵是熟記數(shù)量積公式，是基礎題．