Question

9．設(shè)0＜θ＜$\frac{π}{2}$，向量$\overrightarrow{a}$=（sin2θ，cosθ），$\overrightarrow$=（1，-cosθ），若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，則sin2θ+cos²θ=$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得 2sinθcosθ-cos²θ=0，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得tanθ，把sin2θ+cos²θ化為含有tanθ的代數(shù)式得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（sin2θ，cosθ），$\overrightarrow$=（1，-cosθ），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=sin2θ-cos²θ=2sinθcosθ-cos²θ=0，
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，∴2sinθ-cosθ=0，則tanθ=$\frac{1}{2}$，
∴sin2θ+cos²θ=$\frac{2sinθcosθ+co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}=\frac{2tanθ+1}{ta{n}^{2}θ+1}$
=$\frac{2×\frac{1}{2}+1}{（\frac{1}{2}）^{2}+1}=\frac{8}{5}$．
故答案為：$\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題．