已知函數(shù)f(x)=|a-
1
x
|,a>0,b>0,x≠0,且滿足:函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=1有且只有一個交點.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)<4x-1的解集為(
1
2
,+∞),求實數(shù)b的值;
(3)在(2)成立的條件下,是否存在m,n∈R,m<n,使得f(x)的定義域和值域均為[m,n],若存在,求出m,n的值,若不存在,請說明理由.
考點:函數(shù)恒成立問題
專題:綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用
分析:(1)依題意,a-
b
x
=-1
時方程必有一根
b
a+1
,而a-
b
x
=1
無解,從而可求得a;
(2)由f(x)=|1-
b
x
|
與y=4x-1的圖象知兩圖象的交點橫坐標為
1
2
,從而可求得b;
(3)f(x)=|1-
1
x
|
≥0,故必須滿足n>m>0,f(1)=0,值域[m,n]中不包括0,定義域[m,n]中不包括1,只需討論:當0<m<n<1與1<m<n時,由f(x)在[m,n]上的單調(diào)性即可求得答案.
解答: 解:(1)a-
b
x
=1
或a=1,因為a>0,b>0,所以a-
b
x
=-1
時方程必有一根
b
a+1
,
因此a-
b
x
=1
無解,a=1(或通過說明圖象平移直接得到);           …(4分)
(2)由f(x)=|1-
b
x
|
與y=4x-1的圖象知兩圖象的交點橫坐標為
1
2
,
代入y=4x-1,知道交點為(
1
2
,1)
,
代入f(x)=|1-
b
x
|
知b=1.…(9分)
(3)f(x)=|1-
1
x
|
,因為f(x)≥0,所以必須滿足n>m>0
又f(1)=0,值域[m,n]中不包括0,所以定義域[m,n]中不包括1,只需討論:
當0<m<n<1時,f(x)=
1
x
-1
,在[m,n]上遞減,
1
m
-1=n
,
1
n
-1=m

作差得
1
m
-
1
n
=n-m
,mn=1,不成立;
當1<m<n時,f(x)=1-
1
x
,在[m,n]上遞增,1-
1
m
=m
1-
1
n
=n
,
作差得
1
n
-
1
m
=m-n
,mn=1,不成立.
綜上:不存在m,n∈R,m<n滿足題意.                                 …(14分)
點評:本題考查帶絕對值的函數(shù),著重考查數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的綜合運用,考查創(chuàng)新能力與抽象思維能力,屬于難題.
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1-x
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π
4
,E為CD的中點,求二面角P-AE-B的正切值;
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