Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
（1）求證：AC⊥BC₁；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求二面角B-CD-B₁正切值的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得AC⊥BC，且BC₁在平面ABC內(nèi)的射影為BC，由此能證明AC⊥BC₁．
（2）設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE，由已知得DE∥AC₁，由此能證明AC₁∥平面CDB₁．
（3）以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-CD-B₁正切值．

解答： （1）證明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
底面三邊長BC=3，BA=4，AB=5，
∴AC⊥BC，且BC₁在平面ABC內(nèi)的射影為BC，
∴AC⊥BC₁．
（2）證明：設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE，
∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC₁的中點(diǎn)，
∴DE∥AC₁，
∵DE?平面CDB₁，AC₁不包含平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（3）解：以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（0，4，0），C（0，0，0），A（3，0，0），
D（

3

2

，2，0），B₁（0，4，4），

CD

=（

3

2

，2，0），

CB1

=（0，4，4），
設(shè)平CDB₁的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • CD = 3 2 x+2y=0 n • CB1 =4y+4z=0

，
取x=4，得

n

=（4，-3，3），
又平面CBD的法向量

m

=（0，0，1），
設(shè)二面角B-CD-B₁的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

3

9+9+16

|=

3

34

，
∴tanθ=

5

3

．
∴二面角B-CD-B₁正切值為

5

3

．

點(diǎn)評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．