Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+ax和g（x）=x﹣a，其中a∈R，且a≠0．
（I）若函數(shù)f（x）與g（x）圖象相交于不同的兩點A、B，O為坐標原點，試求△OAB的面積S的最大值；
（II）若p和q是方程f（x）﹣g（x）=0的兩正根，且 ，證明：當x∈（0，P）時，f（x）＜P﹣a．

Answer 1

解：（I）依題意，f（x）=g（x），即ax²+ax=x﹣a，
整理，得ax²+（a﹣1）x+a=0，①
∵a≠0，函數(shù)f（x）與g（x）圖象相交于不同的兩點A、B，
∴△＞0，即△=（a﹣1）²﹣4a²=﹣3a²﹣2a+1=（3a﹣1）（﹣a﹣1）＞0．
∴﹣1＜a＜且a≠0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，
由①得，x₁x₂=1＞0，x₁+x₂=﹣．
設點O到直線g（x）=x﹣a的距離為d，則d=，
∴S_△OAB==．
∵﹣1＜a＜且a≠0，∴當a=﹣時，S_△OAB有最大值；
（II）證明：由題意可知f（x）﹣g（x）=a（x﹣p）（x﹣q）
∴f（x）﹣（p﹣a）=a（x﹣p）（x﹣q）+x﹣a﹣（p﹣a）=（x﹣p）（ax﹣aq+1），
當x∈（0，p）時，x﹣p＜0，且ax﹣aq+1＞1﹣aq＞0，
∴f（x）﹣（p﹣a）＜0，
∴f（x）＜p﹣a．